כובע אינפי

"אני לא צריך ε. יש לי כובע!"

~אורי סלע על הגדרת הגבול

"האפסילון שלי יותר גדול משלך"

~אביב צנזור על אורי סלע

במתמטיקה על-צנזורית כובע אינפי (בלועזית "Infy hat", על שם המתמטיקאי אורי "כובע אינפי" סלע) הוא כובע שעשוי מאינפי. למציאת כובע זה היו השלכות מתמטיות רבות. ביניהן ניתן למנות מספר בן מנייה של גילויים משמעותיים בתורת השליפים, ובנוסף את ההכללה של משפט פיתגורס המפורסם, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, למשפטו השני של פיתגורס, $a^{2}+b^{2}\not =c^{2}$.

היסטוריה

אורי סלע פיתח את כובע אינפי בשנת 1669, בעת היה בעיצומה של תחרות שחייה מתמטית שהתקיימה בינו לבין שאר חברי האיגוד הבריטי. הבעיה המתמטית שניתנה בתחרות הייתה פתרון של אינטגרל בלתי-פתיר לא-רציף מרמה 6, תוך שחיית חזה בבריכה של 80 מטר. שאר חברי האיגוד הבריטי התקשו לפתור בעיה שכן לא הצליחו להבין מדוע הנייר עליו הם מנסים לרשום נהרס בכל פעם שהם נכנסים למים, אך אורי סלע היה מוכן מראש והביא איתו לתחרות דף כתוב עם שליפים לפתרון אינטגרלים. כדי שלא יטבע במים, סלע הכין כובע באוריגאמי מדף השליפים וכך יכל לשחות שחיית חזה מבלי להטביע את הדף. הוא עבר לזכות ב8 פרסי שחייה שונים וב0 פרסים על המצאתו המתמטית, כי אף אחד לא אוהב מתמטיקה.

רק 100 שנים לאחר שהומצא כובע אינפי הבינו תלמידים את שימושיו המתמטיים בפתרון מבחנים באינפי. בשל כך תופעה נפוצה במאה ה-18 הייתה תלמידים שנכנסו למבחן בחשבון אינפיניטסימלי עם כובע אינפי על ראשם, עליו כתובות כל הנוסחאות המתמטיות בקורס. אביב צנזור היה פונה אל אותם תלמידים ושואל אותם אם מה שיש להם על הראש זה שליפים. התלמידים היו עונים לא "לא, זה הכובע שלי!" וכאשר היה מנסה צנזור להוריד את הכובע מראשם הם היו תובעים אותו על הפשטה.

השפעת המהפכה הטכנולוגית על כובע אינפי

עם המצאת מכונת ההדפסה, נוספו שיפורים לכובע האינפי שהפכו אותו ליעיל וזול יותר עבור סטודנטים ותלמידים. היא איפשרה לתלמידים להיכנס למבחן עם דף נוסחאות עליו מודפסות כל השאלות והתשובות האפשריות באינפי, וכך הגיעו מוכנים לכל מבחן, גם אם צנזור ניסה להתקיל אותם. עם המצאת המחשב נוסף שידרוג שני לכובע האינפי, וכך דף הנוסחאות לא היה מוגבל כבר לידע האנושי ונכתבו עליו כל אמת ושקר שיכלו להתקיים ביקום 616 ובכל יקום ממספר בן מנייה אחר. זה כבר היה יותר מדי לצנזור, ומרוב תביעות על הפשטה הוא טבע ונכנס לקומה של 253 שנים, עד שמשרד החינוך הוציא צו איסור שימוש בכובע אינפי לאלתר.

הוכחה

יהי 0<כובע. אזי קיימת הוכחה N למשפט כובע האינפי. נתון כי לקבוצת הכובע אין מקסימום, ולכן קיימת הוכחה גדולה יותר למשפט כובע האינפי, $N_{2}$. באינדוקציה, נקבל סדרה של אינסוף הוכחות לכובעים $N_{1},N_{2},N_{3},...$ כעת נגדיר פונקציה

public static int solution(String *p)

נשים לב כי פונקציה זו אי-רציפה בשדה הממשיים - נפעיל אותה על הסדרה שלנו, ונקבל, תוך שימוש בלמה התשיעית של הלמוש, שההוכחה טריוויאלית ורק אימבציל לא יוכל לראותה.