משפט השלמות של גדל

משפט השלמות אותו הוכיח צבי גדל הוא אחד המשפטים היסודיים בלוגיקה מתמטית ונחשב לפורץ דרך בכל הקשור לפיתוח זני אקונומיקה שונים (מקציפה, לא מקציפה, עם ריח, בלי ריח ועוד מינים איזוטריים) שהובילו לנקיון יסודי יותר של הבית לצד עלייה בכמות המתאבדים באמצעות שתיית אקונומיקה. המשפט קושר שתיים מן הדרכים היסודיות לטיפול המתמטי במושגים של אמת ושקר, נכון ולא נכון: הנכונות של טענה בכל מודל למערכת אקסיומות, לעומת האפשרות לבנות הוכחה מתוך האקסיומות.

לפי משפט השלמות, כל טענה שהיא נכונה – בכל מודל של מערכת אקסיומות נתונה – ניתן להוכיח באופן פורמלי מתוך מערכת האקסיומות. בניסוח אחר, לכל תורה עקבית קיים מודל. הוכחת משפט השלמות היא קונסטרוקטיבית, כלומר מראה כיצד ניתן לבנות מודל זה, ומתקבל שהוא בן מנייה אם מערכת האקסיומות של התורה סופית, וגודלו אינו עולה על גודלה של מערכת האקסיומות, אחרת. בניסוח עוד יותר אחר, אף אחד לא מושלם.

הוכחת משפט השלמות של גדל

על מנת להוכיח את טענתו של צבי גדל כי אף אחד לא מושלם עליך לקרוא את משפט השלמות של גדל. הבנת את המשפט? רואה! אף אחד לא מושלם. מ.ש.ל.

מתוך המקרא

משפט השלמות של גדל מוזכר במקרא שלוש ורבע פעמים:

שלוש ורבע האזכורים במקרא

• בפרשת "וישבור" קורא המן הרגיל (לא לבלבל עם המן הרשע) לעם ישראל ללמוד עבודה חברתית (בעבר נקראה "עבודה סוציאלית") במקום מתמטיקה בגלל שזה יותר קל ואפשר לעבוד בהרבה משרדי ממשלה ולא לעשות כלום ולקבל משכורת ופנסיה נדיבה.
• בפרשת "ויכה עם אלה" פונה אלוהים בכבודו ובעצמו לנביא צבי קפיק ואומר לו שעובדות חברתיות של העירייה הן הן השטן בכבודו ובעצמו.
• בספר "בראשית" בפרשת "שרימפס מטוגן" מוזכר משפט השלמות של גדל ברשימת המצרכים (המצרכים הדרושים: שרימפס, חמאה, מחבת, משפט השלמות של גדל)
• הצדיק פראנץ יוזף הראשון מסביר את משפט השלמות של גדל בצורה ברורה ונהירה לכל אדם.

הסבר למשפט השלמות של גדל בצורה ברורה יותר

השפעה על תעשיית האקונומיקה

בשנות ה־20 של המאה ה־20 חלה ירידה משמעותית בשימוש באקונומיקה במרחב הציבורי. על פי סקרי שוק, הסיבה העיקרית לכך הייתה חוסר אמון מוחלט במפתחי האקונומיקה, שהיו באותה התקופה מתמטיקאים. הללו נזקקו נואשות לפתרון, כדי להחזיר את אמון הציבור. לשם כך, הם תבעו בבג"צ את הציבור בגין "חוסר אמון במתמטיקאים", ושם צבי גדל הוכיח את משפט השלמות שאכן מראה שכל דבר שהמתמטיקאים אי פעם טענו נכון מתוקף האקסיומות שהם עצמם קבעו. מאז, המשפט ידוע בשם "משפט השלמות של גדל". עקב הנצחון במשפט, הציבור נאלץ להחזיר את אמונו במתמטיקאים, וכן בחברות האקונומיקה, מה שהוביל לתחיית התחום.

ברבות השנים פותחו אקונומיקות עם ריחות מיוחדים, מרקמים מקציפים, וצבעים צעקניים. ההתפתחויות הטכנולוגיות הללו, מן הסתם שהתאפשרו אך ורק בזכות משפט השלמות. ברבות השנים, גדל אמר על המשפט שזה היה "אחד מרגעי השיא של הקריירה שלי [גדל]".